Atelier Bonryu
pinhole photography
ピンホール写真＿研究室
ピンホール写真ー注釈４（撮影）
※注４：ピンホールの最適直径
ホイヘンスの原理：まず、どうしてピンホールの直径として最適なものがあるのかについて、簡単なモデルを使って考えてみます。有名な「ホイヘンスの原理」（1690、オランダ、Christiaan Huygens: 1629 - 1695）から始めますが、もともとの「ホイヘンスの原理」だけでは波の回折現象は説明できないので、普通、これには波の干渉の効果を入れたフレネルの考えかたを含ませてあります（ホイヘンスーフレネルの原理）。
ホイヘンスの原理によれば、光は、波面上の各点から進行方向前方に球面波（素元波）として放出され、その球面波の包絡線が新しい波面となって進んでいくというものです。ですから、波面が平面である平面波はどこまで進んでも平面波です。しかし、その平面波が（とても小さな）ピンホールが一つ開いている板に衝突すると、ピンホールを波源とする球面波が生じますが、この球面波にホイヘンスの原理を適用すれば次々に球面波が生まれて広がっていきます。この場合、光の波は最初平面波が進んできた方向に直進するわけではありませんから、このように小さな穴ではもはや「ピンホール・カメラ」として機能しないことになります。
ピンホールの小ささとは：それでは、ここで、「とても小さな」というのはどれくらい小さなことでしょうか？これは、光の波長である「400 nm - 700 nm」（1 nm：ナノメートル は百万分の一ミリメートル）を基準として、光の波長位のサイズを「とても小さい」と言っています。しかし、これはあくまでも球面波になるか平面波になるかという基準ですので、回折によって像がぼけるかどうかという事を議論するときには焦点距離がどれ位かという事も重要です。焦点距離が50 mm位のピンホールカメラを考えますと直径0.1 mm(=100000 nm)位のピンホールでも回折の効果が出始めますから、このように直径が波長の200倍もあるようなピンホールでも「とても小さな」ピンホールということになります。もし、ピンホールの直径が光の波長に比べて非常に大きければ、ピンホール板に向かって進んできた平面波はピンホールを通り抜けたあとも平面波のまままっすぐ進んでいきます。「平面波」といってもピンホールの大きさ（例えば、0.3 mm位）の光線で、とても「平面波」と言うのは抵抗があるかもしれませんが、光の波長からみれば1000倍程もの広がりがあるわけですから「平面波」なのです。
ホイヘンスの原理
波面は同じ波面上の点を同時刻に出発した球面波の波面の包絡線（赤い線）として形成されます。
ピンホールが小さい場合
ピンホールのサイズが極めて小さいと、ピンホールを通り抜けた光の波は球面波になる。
ピンホールが大きい場合
ピンホールのサイズが極めて大きいと、ピンホールを通り抜けた光の波は平面波になる。
直感的に、最適ピンホール直径として考えられるのは、後に述べるようなゾーンプレートの中心円の直径で、これは
と表せます。この式はピンホールの円周をかすめて直進する光をピンホール中心から出てくる素元波が打ち消すという条件（簡易法）になりますが、この条件自体は余り根拠のあるものではありません。 実際に干渉を起こす光線はピンホール中心を通ってきたものだけではなくて、他にも無限にあるわけですからこれら全てについて加え合わせなければなりません。このように加えあわせた式を使い、いくつかの仮定をすると「フラウンホーファー回折の式」が得られます。この計算を行なうと平面波がピンホール板に衝突して通り抜けてきた時に感光面上の光の強さの分布がどのようになるか図が描けます。光は中心の円形の領域の中で強くなり、その外側を輪を描いて囲んでいます。この式は上の計算に使ったフレネル回折の式よりも近似を進めて簡単化されているので、中心円半径は次のように式の形で求められます。
最適化のために、中心円の半径がピンホール半径と一致する（
）という条件を与えると、次式が得られます。
これは、本文にある式と同一です。ゾーンプレートの中心円の直径から求めたものとは係数が異なりますが、光の波長と焦点距離のルート（二乗根）に比例する点では同じです。このように、最適ピンホール直径を定める条件の与え方次第で、式の係数はある程度異なってきます。また、実際に数値を出す時には、可視光の波長はある広がりを持っていますから、光の波長
としてどのような値を使うかによってピンホールの最適直径は変わってきますが、通常の写真撮影にはあまり支障をきたしません。
最適ピンホール直径の決め方
円形開口部による回折光分布の式から求めた第一暗部の半径をピンホールの半径とします。
(a)
(b)
(c)
(d)
ピンホールの大きさ（この図では、スリット）と光の広がりかたの関係図。スリットは横軸上に置いて、下から光を当てています。ピンク色の帯は、仮に回折現象がないとした時に直進する光の経路です。(a),(b),(c),(d)は、スリット幅が、それぞれ、d=0.05, 0.1, 0.15, 0.3 mmの場合の図です。
回折による光の広がり方：実際に、ピンホールを通り抜けた光の振る舞いがピンホールの大きさによってどのように違うのかを見てみましょう。ここでは、簡単のためにピンホールの代わりにスリットを使い、非常に遠くにある点光源（無限遠の点光源）から来た波長 
の光がこのスリットを通り抜ける場合について「フレネル回折の式」を用いて計算してみます。下の図はその計算結果で、幅 d が 0.05, 0.1, 0.15,0.3 mm のスリットを横軸上に置いて下から光を当てた時にスリットを通り抜けた光の強度分布の図で、光が強いところは白くなるような等高線図で表してあります。ピンク色の帯の部分は、回折がないとした場合に光が直進するはずの経路です。横軸も縦軸も単位はmmですが、横軸は極端に拡大してあることに注意してください。スリットのある面から離れるほど（上に行くほど）、また、スリット幅が小さいほど、回折光の広がり方が激しいので、遠くに行くほど幅広のスリットによる像の方がよりシャープになって行く様子がわかります。
この図をみると、例えば、d=0.05 mm と言うような狭い幅のスリットでは回折光がスリット幅に比べて大きくひろがっており、d=0.15 mm 位の幅にすれば実際の光の広がりがスリット幅位になることがわかります。これよりスリット幅を広くすると光の広がりはスリット幅そのものによって決まるので、また大きくなってしまいます。上図と同じ条件で計算して、感光面を焦点距離 
の所に置いてその感光面上の光の分布を示したものが右図です。この焦点距離では、スリット幅 d=0.15 mm 位で分布の幅が一番狭くなることがわかります。
開口面（スリットのある面）から 100 mm だけ離れた感光面上の光の強度分布がスリット幅 d (=0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.3, 0.5 mm) に依存する様子。
最適ピンホール直径：このように、光の波長と焦点距離を決めると、これに対して最適のピンホール直径（上の例では、スリット幅）があることはわかりますが、実は、「これこそ最適ピンホール直径を決める唯一の式だ」と言うような数式はありません。それは、「最適とは何か」という定義次第で答えが変わってしまうからです。しかし、大切なのは、「最適ピンホール直径」が「焦点距離」や「光の波長」にどのように依存するかということで、これはどのように「最適」を決めても同じになります。
