Atelier Bonryu
pinhole photography
ピンホール写真＿研究室
ピンホール写真ー注釈１（歴史）
※注１：アリストテレスの問題
「アリストテレスの問題」（Problemata Physica）は次のような問題です。
＊問題６：太陽光が柳細工のカゴの隙間のような四辺形の穴を通ったときに、どうしてその像は四辺形の形でなくて（太陽と同じ）円形になるのか？
＊問題１１：日食の際、篩の目やプラタナスや他の広葉樹の隙間から、あるいは両手の指を組み合わせて篩の目を作ってその隙間から太陽の光線を通して見るなら、その光線が地面に達した時、三日月形になるのはなぜか？
この問題は、西洋では、ルネッサンス期に至るまで解決されませんでした。この問題に解答を最初に与えたのは、フランチェスコ・マウロリコ（Francesco Maurolico: 1494 - 1575）とヨハネス・ケプラー（Johannes Kepler: 1571.12.27 - 1630.11.15）です。マウロリコはケプラーの一世代前に活躍しており、この問題に解答を与えたのは、明らかに マウロリコ の方が早いのですが、ケプラーが1604年にこの結果を「Ad Vitellionem Paralipomera」という著作で公表したのに対して、マウロリコの著作「Photismi di Lumine et Umbra」は1521年に完成していましたが公表されたのはマウロリコの没後36年経過した1611年であるという事情があります。また、下に示すように、解答はいずれも正しいのですが、マウロリコの解釈とケプラーの解釈は異なります。なお、ケプラーが、この二つの解釈が同等のものであることを知っていたことは明らかで、ケプラーが「この問題を解こうとした動機は二つの解釈のいずれでも満たされる」ことも知っていたと考えられています。マウロリコおよびケプラーの著作は言うまでもなくラテン語で、これらの英語訳や研究論文なども多数ありますが、ここの内容は、これらを総合的に扱っているDavid C. Lindbergの「Theories of Vision」の記述に基づき、図や式を補足して解説したものです。なお、本は未出版でしたが、1521年以降マウロリコの成果は学界に知られており、他の研究者に影響を与えたという説もあります。
まず、マウロリコの解答について記します。マウロリコはケプラーのようには一般の日本人によく知られている人物ではありません。彼は、シシリー島のメッシナの人でベネディクト派の修道士を経て修道院長や造幣局長をつとめ、メッシナ大学の数学の教授になり、「アリストテレスの問題」に幾何学的な解答を与えています。図１は被写体（発光体）ＡＢからの光ガ、穴（開口部）ＣＤを通って、下のＥＦＧＨの面に像を作ることを示しています。ＡＨ，ＡＧ，ＢＦ，ＢＥは発光体の端Ａ，Ｂから出て開口部の端Ｃ，Ｄをかすって進む光線です。三角形ＣＥＧとＤＦＨは、それぞれ、頂点ＣとＤから進んできた光線で作る錐体（２次元では三角形）で底面（２次元では底辺）は発光体ＡＢと相似形になります（この図は２次元の図なのでどんな場合でも「相似形」の線分ですが）。（頂点Ａ，Ｂは頂点Ｃ，Ｄに比べて像面から遠くにあって）角度ＥＣＧ及び角度ＦＤＨは角度ＥＢＦ及び角度ＧＡＨより大きいので、開口面から離れるにしたがって、基線ＥＧ及び基線ＦＨの長さは、基線ＥＦ及び基線ＧＨの長さに比べて急速に大きくなります。このことを、第１図にある記号を使って数式で表すと次のようになります。各記号は、
：対象物の大きさ、
：対象物の像の大きさ、
：穴の大きさ、
：穴の像の大きさ、
：対象物から穴までの距離、
：穴から像までの距離、を表しています。そこで、対象物の像の大きさと穴の像の大きさ、およびそれらの大きさの比を求めます。
このように、穴から像までの距離
が大きくなると、 穴の像の大きさと対象物の像の大きさの比が小さくなることがわかります。特に、太陽のピンホール像を考えるときのように、対象物の大きさも対象物までの距離も極端に大きいとき（
）には、太陽を見込む角度（
）を使って、この式は、次に示すように、一層わかりやすいものになります。
これを３次元的に表すと第２図のようになりますが、穴の角ｅ，ｆ，ｇを頂点とする三つのピラミッドの底面の四辺形AeBeCeDe、AfBfCfDf、AgBgCgDgは近似的に同じものと見なせるようになって被写体の四辺形ABCDの像としての一つの四辺形を表すということです。
ケプラーは1600年7月10日の日食を利用して月の直径を計測したところ、それまでティコ・ブラーエがピンホールカメラで測定した値よりも小さくなることを発見しました。この原因を探る過程でケプラーは「アリストテレスの問題」を解くことになりました。ケプラーの説明は、マウロリコの説明が２次元モデルで行なわれたのと違って、次のように、最初から３次元で行われました。被写体（発光体）は四辺形の本”ＡＢＣＤ”です。第４図のように、本を高い位置に置いて床との間に多角形の穴（開口部：この図の場合、三角形”egf”）のある机を置きます。本の一つの角から穴の辺をかすめるように床までヒモを伸ばします。ヒモをピント張ったまま穴の辺に沿って動かすと床の上には穴と同じ形（三角形AeAgAf等）が描かれます。これと同じ操作を本の輪郭の全ての点について行なえば、床にはその操作と同じ数だけの穴の形を描くことが出来ます。そして、これを全体としてみると発光体である本の形になっているのです。これを２次元的に描くと第３図のようになります。
これをまとめると、マウロリコは発光体の像を開口部の形の範囲内で重ね合わせているのに対し、ケプラーは開口部の像を発光体の形の範囲内で重ね合わせていることになっています。 要するに、Maurolico も Kepler も上に式で示したような定量的評価はしていませんが、Maurolico が「像面が遠くなるにつれて開口部の像が相対的に小さくなる」と言っているのに対して、Kepler は「開口部の像の重ね合わせが発光体の像になる」としています。 マウロリコの解釈とケプラーの解釈は基本的に同等です。なお、ケプラーが、光線をヒモで表しているのはデューラーの著作、Four Books on Measurement (Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt)(1525) からヒントを得たとされています。
第１図：
マウロリコの解釈(2次元モデル）
開口部ＣＤ内の各点で交叉する光線によってできる発光体ＡＢの像（ＥＧとかＦＨ）の重ね合わせが最終的な像になります。
第２図：
マウロリコの解釈（３次元モデル）
開口部efg（三角形）内の各点で交叉する光線によってできる発光体ABCD（四辺形）の像（AeBeCeDe等）の重ね合わせが最終的な像になります。
第３図：
ケプラーの解釈（２次元モデル）
発光体ＡＢ内の各点から発した光による開口部ＣＤの像の重ね合わせが最終的な像になります。
第４図：
ケプラーの解釈（３次元モデル）
発光体ABCD（四辺形）内の各点から発した開口部efg（三角形）の像の重ね合わせが最終的な像になります。
Man Drawing a Lute by Albrecht Dürer (1525)
ヒモを使って遠近法でリュートの絵を描いています。
